Admission

Prérequis : M1 spécialité mathématiques, informatique ou logique – ou équivalent.

Dossier : L'ouverture des inscriptions aura lieu le 1er mai.

Débouchés

La suite naturelle de cette formation est la préparation d'un doctorat, soit en logique mathématique, soit en informatique (notamment fondamentale).

Organisation

Un semestre de cours fondamentaux, un semestre de cours avancés, un stage d'initiation à la recherche.

Organisation

Le Master 2ème année LMFI est composé :

  • d'un premier semestre de tronc commun composé de cours fondamentaux de logique, précédé d'un cours intensif de remise à niveau;
  • d'un semestre de spécialisation où les étudiants suivent des modules plus spécialisés et avancés;
  • d'un stage ou un mémoire d'initiation à la recherche, encadré par un enseignant-chercheur auquel est consacré la fin de l'année universitaire.

À la demande des élèves, les cours pourront être donnés en anglais.

Validation

La validation de la 2ème année de Master correspond à l'acquisition de 60 crédits ECTS selon les modalités suivantes :

  • Validation des quatre cours fondamentaux (20 ECTS).
  • Validation de deux cours d'orientation (8 ECTS chacun).
  • Validation de 8 ECTS d'ouverture, qui peuvent être obtenues, au choix par :
    • par la validation de deux cours d'ouverture (24h et 4 ECTS chacun);
    • par la validation d'un troisième cours d'orientation (8 ECTS)
  • Le stage est crédité de 16 ECTS.

Les cours d'orientation sont à choisir dans la liste proposée par le M2 (voir les cours spécialisés décrits dans la présente brochure) ou, après accord des responsables, parmi des unités d'un autre M2, par exemple dans le M2 Mathématiques Fondamentales ou dans le MPRI (Master Parisien de Recherche en Informatique).

L’attribution des ECTS correspondant à chacun des modules précédents est conditionnée par l’obtention, pour ce module, d’une note supérieure ou égale à 10. Cependant une compensation est possible entre les quatre notes F1 , F2, F3 , F4 des cours fondamentaux, sous réserve qu’elles soient toutes les quatre supérieures ou égales à 7 et que leur moyenne soit supérieure ou égale à 10.

Il est attribué une note finale du M2, qui est la moyenne entre [(F1xC1+F2xC2+F3xC3+F4xC4)/ (C1+C2+C3+C4)], O1, O2 et S, où F1, F2, F3, F4 sont les notes obtenues en cours fondamentaux, C1, C2, C3, C4 sont les coefficients (respectivement 4, 4, 4 et 8), O1 et O2 sont les notes obtenues aux cours d’orientation et S la note de stage.

Les notes obtenues aux modules des cours d’ouverture n’interviennent donc pas dans la note finale, mais conditionnent l’obtention des crédits correspondants.

Le cours préliminaire de logique est facultatif mais fortement recommandé pour la validation du 1er semestre car il expose les pré-requis de logique.

Cours proposés

Semestre 1

Cours préliminaire de logique

0 ECTS, semestre 1

Prérequis
Validationsans
EnseignantPatrick Simonetta et Pierre Letouzey
Horaires hebdomadaires 18 h CM

Syllabus

Le cours préliminaire sera du 2 au 13 septembre.

Théorie des Catégories

4 ECTS, semestre 1

Prérequis
Validationexamen
EnseignantFrancois Metayer
Horaires hebdomadaires 2 h CM

Syllabus

Le cours présente les concepts fondamentaux de la théorie des catégories, illustrés de nombreux exemples. L’objectif essentiel est préparer l’accès aux applications actuelles des catégories en logique, en informatique théorique et en théorie de l’homotopie.

Semestre 2

Théorie des modèles : Outils classiques

8 ECTS, semestre 2

PrérequisEn plus des notions de théorie des modèles du cours du premier semestre, des notions que l’on apprend typiquement au cours de la licence de mathématiques pourront être utiles pour comprendre les exemples et les applications.
Validationexamen
EnseignantTamara Servi
Horaires hebdomadaires 4 h CM

Syllabus

Ce cours sera une continuation naturelle du cours de théorie des modèles du premier semestre : au premier semestre, étant donnée une L-structure M, vous allez identifier les L-énoncés qui sont vrais dans M (i.e. la théorie de M). Inversement dans ce cours, étant donnée une L-théorie complète T, nous allons classifier ses modèles à isomorphisme près.

Théorie des modèles des corps pseudo-finis

8 ECTS, semestre 2

PrérequisThéorie de Galois. Des rudiments de théorie des modèles et de géométrie algébrique pourront être utiles. Des rappels seront fait en cours, si besoin.
Validationexamen
EnseignantSilvain Rideau
Horaires hebdomadaires 4 h CM

Syllabus

L’étude des propriétés asymptotiques des corps finis, c’est à dire les propriétés vraies dans tous les corps finis suffisamment grands, se fait naturellement par le biais des corps dits pseudo-finis : les modèles infinis de l’ensemble des énoncés vrais dans tous corps finis. Cette classe a été définie et étudiées par Ax et il en a donné une caractérisation algébrique : ce sont les corps parfaits, pseudo- algébriquement clos qui ont exactement une extension de chaque de degré.

Les structures pseudo-finies ont plus récemment joué un rôle déterminant dans l’approche, par la théorie des modèles, de certaines questions combinatoires, entre autre dans les travaux de Hrushovski en combinatoire additive. Ces derniers trouvent une partie de leurs racines dans les résultats de Chatzidakis, van den Dries et Macintyre qui ont donné une description fine des ensembles définissables dans les corps pseudo-finis en exhibant, entre autre, un équivalent pseudo-fini de la mesure de comptage.

Le but de ce cours sera d’introduire les résultats d’Ax et de Chatzidakis-van den Dries- Macintyre ainsi que les notions algébriques nécessaires à leur compréhension. Enfin, on abordera, dans la mesure du possible, des questions liées à la théorie géométrique des modèles comme l’étude des groupes définissables ou des imaginaires ainsi que des questions de classification.

Théorie des ensembles : Outils classiques

8 ECTS, semestre 2

Prérequis
Validationexamen
EnseignantBoban Velikovic
Horaires hebdomadaires 4 h CM

Syllabus

Le 8 août 1900, lors du second Congrès International des mathématiciens, à Paris, David Hilbert énonça une liste de 23 problèmes mathématiques qui, selon lui, devaient servir de guide pour les recherches à venir dans le nouveau siècle. Le premier problème de cette liste, l’hypothèse du continu de Cantor, a été résolu, en deux temps : par Gödel (1938) qui construisit un modèle interne de l'hypothèse généralisée du continu, et par Paul Cohen (1963), qui a inventé une construction de modèle pour la négation de l’hypothèse de Cantor. Ce cours couvrira principalement les deux constructions de modèles de la théorie des ensembles introduites par Gödel et Cohen.

Théorie descriptive des ensembles

8 ECTS, semestre 2

Prérequis
Validationexamen
EnseignantDominique Lecomte
Horaires hebdomadaires 4 h CM

Syllabus

En théorie descriptive des ensembles classique, on s’intéresse aux ensembles apparaissant naturellement dans divers domaines des mathématiques, notamment l’analyse fonctionnelle, l’analyse harmonique, les systèmes dynamiques ou encore la théorie des groupes. Un des objectifs est d’étudier leur complexité topologique. Par exemple, on peut classifier les sous-ensembles boré́liens des réels selon le nombre d’étapes qui sont nécessaires pour les obtenir à partir d’ensembles ouverts en effectuant des unions dénombrables et des passages au complémentaire.

Le cadre général est celui des espaces topologiques polonais, où le théorème de Baire est un outil puissant. On s’intéressera d’abord aux sous-ensembles boréliens des espaces polonais, dont on verra qu’ils sont naturellement hiérarchisés par les ordinaux dénombrables. Ensuite viennent les images via une application borélienne de boréliens (ensembles analytiques) et leurs complémentaires (ensembles co-analytiques). On verra notamment une méthode permettant de montrer qu’un ensemble est co- analytique mais non borélien.

Le cours se terminera par une introduction à la théorie descriptive effective des ensembles et à ses applications. Un de ses outils très puissants est la topologie de Gandy-Harrington, et nous établirons ses propriétés permettant son utilisation dans la preuve de nombreux résultats de dichotomie. Nous détaillerons trois exemples, les dichotomies d’Hurewicz, Silver et Kechris-Solecki-Todorčević. Nous énoncerons d’autres exemples plus récents, en détaillant suivant le temps disponible.

Preuves et programmes : Outils classiques

8 ECTS, semestre 2

Prérequis
Validationexamen
EnseignantAlexis Saurin et Christine Tasson
Horaires hebdomadaires 4 h CM

Syllabus

La théorie de la démonstration a connu au moins deux évolutions majeures au cours du siècle dernier suite aux théorèmes d'incomplétude de Gödel. La première a eu lieu dans les années 30, immédiatement après les résultats d'incomplétude, avec l'introduction et l'étude de la déduction naturelle et du calcul des séquents par Gentzen et du lambda-calcul par Church. Church montrait alors l'indécidabilité du calcul des prédicats via le lambda-calcul tout en introduisant un modèle de calcul universel tandis que Gentzen déduisait la consistance de divers systèmes logiques comme corollaire de l'élimination des coupures en calcul des séquents.

La seconde étape a eu lieu dans les années 60 avec la mise en évidence progressive, par le biais de la correspondance de Curry-Howard, des liens profonds entre preuves et programmes, depuis la correspondance entre lambda-calcul simplement typé et déduction naturelle propositionnelle minimale jusqu'aux diverses extensions de cette correspondance au second ordre, à la logique classique et jusqu'à l'émergence de la notion de linéarité en théorie de la démonstration. La logique linéaire a profondément renouvelé les liens entre la sémantique formelle des langages de programmation d'un côté et la théorie de la démonstration de l'autre. L'algèbre linéaire s'impose comme troisième pôle de cette correspondance, en mettant au centre la notion de ressource du calcul.

Le cours fondamental a traité de la première étape. Ce cours sera consacré aux développements depuis les années 60 et présentera les outils classiques pour l'étude de la correspondance de Curry-Howard. Après quelques rappels et compléments du cours fondamental, le cours se concentrera sur deux concepts fondamentaux, le second-ordre et la linéarité, et à leurs développements, notamment dans un cadre algébrique. On appliquera notamment les résultats du cours à l'étude de PCF, un langage de programmation idéalisé.

Théorie homotopique des types

8 ECTS, semestre 2

PrérequisLa participation aux cours d'introduction à la programmation et la preuve formelle en Coq, ou la maîtrise des notions correspondantes, est un prérequis pour ce cours.
Validationexamen
EnseignantHugo Herbelin
Horaires hebdomadaires 4 h CM

Programmation fonctionnelle et preuves formelles en Coq

8 ECTS, semestre 2

Prérequis
Validationprojet
EnseignantPierre Letouzey
Horaires hebdomadaires 2 h CM , 2 h TP

Syllabus

Attention, ce cours aura lieu les 6 dernières semaines du 1er semestre et les 6 premières semaines du 2nd semestre.

Une moitié des heures de ces modules consistera en des cours, l’autre en des TP sur machine. Ces cours se concluront par un projet à réaliser en Coq. Le contenu de ces cours est un prérequis pour le cours de théorie des types homotopiques.

Complexité descriptive : du discret au continu

8 ECTS, semestre 2

PrérequisOn fera l’hypothèse que les étudiants connaissent les bases de la calculabilité (récursion primitive notamment) et de la complexité (P, NP).
Validationexamen
EnseignantOlivier Bournez et Arnaud Durand
Horaires hebdomadaires 4 h CM

Syllabus

L’objectif du cours est de présenter plusieurs point de vue sur la complexité venant de la logique, de la théorie de la récursion ou de l’analyse. Ces approches ont pour point commun de s’abstraire de la notion de machine (et de ses mesures associées comme le temps et l’espace) au profit d’une vision plus descriptive du calcul. Le cours vise notamment à étudier des formalismes logiques sous l’angle de leur pouvoir d’expression et à présenter de multiples caractérisations des classes de complexité usuelles.

Ces approches de le complexité dîtes descriptives ou implicites ont connu des applications importantes en théorie des bases de données, des langages de programmation ainsi que plus récemment autour de l’analyse des systèmes d’équations différentielles, ou autour de la compréhension de la puissance de modèles alternatifs de calculs basés sur la bioinformatique, ou le calcul analogique.

On visera à présenter dans un premier temps des résultats sur la complexité classique [8, 13], pour aller vers des extensions à des modèles algébriques comme le modèle de Blum Shub et Smale [3, 2], à espace continus comme les modèles de réseaux de neurones/deep learning [17], puis à temps et espace continu comme le modèle de Shannon [16].

Blockchains, tokens and contracts

4 ECTS, semestre 2

Prérequis
Validationexamen
EnseignantVincent Danos et Ilias Garnier
Horaires hebdomadaires 2 h CM

Syllabus

Ce cours vise à présenter les fondements informatiques des blockchains (protocoles de communications, théorie des jeux), ainsi que des exemples de protocoles mis en oeuvre en particulier dans les cryptomonnaies et les smart-contracts.

Admission

Candidature des étudiants étrangers

Afin de faciliter la mobilité internationale, l’Université Paris Diderot adhère à l’Agence Campus France. Les étudiants étrangers relevant de la procédure CEF (consultation de la liste des pays concernés : https://www.campusfrance.org/fr/candidature-procedure-etudes-en-france), doivent prendre connaissance de la procédure de candidature sur le site de Campus France (http://www.campusfrance.org/fr) et doivent s’inscrire auprès de cet organisme avant mars 2019.

Pour toutes les autres candidatures

La candidature est complétement dématérialisée. Les étudiants doivent déposer une demande de pré-inscription sur le site de l'université (https://candidaturesca19mprod.app.univ-paris-diderot.fr/ca19m/#!accueilView).

Bourses

Quelques informations sur les possibilités de bourses pour l'entrée en M1 ou M2 notamment à destination des étudiants étrangers :

Dates importantes:

  • mars 2019 : pour les étudiants devant effectuer la procédure Campus France (voir http://www.campusfrance.org pour les détails) -- cela ne concerne pas les étudiants déjà inscrits dans un établissement universitaire en France ou ressortissant d'un état membre de l'union européenne; la liste des pays concernés est disponible sur Campus France
  • Du 1er mai au 10 juillet 2019 : dépôt de dossier d'inscription sur le site E-candidat (voir détails ci-dessus).
  • Du 25 août au 15 septembre 2019 : dépôt de dossier d'inscription sur le site E-candidat pour un examen de votre candidature à la session septembre.
  • Le cours préliminaire aura lieu du 2 au 13 septembre.
  • Les cours du premier semestre commenceront le 16 septembre.
  • Le planning du 1er semestre est en ligne : https://www.math.univ-paris-diderot.fr/_media/formations/masters/lmfi/planning_lmfi_2019-2020.pdf

Débouchés

La suite naturelle de cette formation est la préparation d'un doctorat, soit en logique mathématique, soit en informatique (notamment fondamentale). Pour un doctorat en informatique, la thèse peut éventuellement être préparée dans une entrerpise ou un organisme public de recherche (INRIA, CEA, ONERA, ...). Les débouchés principaux après le M2 et la thèse sont dans la recherche au sens large :

  • dans le milieu universitaire (français ou étranger) ou des organismes publics de recherche (CNRS, INRIA, CEA, ONERA);
  • dans les services de recherche et développement d'entreprises du monde industriel.

Les services de recherche et développement sont particulièrement demandeurs d'étudiants ayant une forte compétence à la fois mathématique, logique et informatique, leur permettant d'encadrer des ingénieurs travaillant dans les domaines de la certification de logiciels, de la vérification de programmes et de protocoles et plus généralement dans la sécurité informatique. Dans certains cas, le recrutement peut s'effectuer directement à l'issue du Master. Ces dernières années, plus de la moitié des étudiants validant le M2 continuent en thèse.

Informations pratiques