Validationexamen
EnseignantDominique Lecomte
Horaires hebdomadaires 4 h CM
Années Master Logique et Fondements de l'Informatique

Syllabus

En théorie descriptive des ensembles classique, on s’intéresse aux ensembles apparaissant naturellement dans divers domaines des mathématiques, notamment l’analyse fonctionnelle, l’analyse harmonique, les systèmes dynamiques ou encore la théorie des groupes. Un des objectifs est d’étudier leur complexité topologique. Par exemple, on peut classifier les sous-ensembles boré́liens des réels selon le nombre d’étapes qui sont nécessaires pour les obtenir à partir d’ensembles ouverts en effectuant des unions dénombrables et des passages au complémentaire.

Le cadre général est celui des espaces topologiques polonais, où le théorème de Baire est un outil puissant. On s’intéressera d’abord aux sous-ensembles boréliens des espaces polonais, dont on verra qu’ils sont naturellement hiérarchisés par les ordinaux dénombrables. Ensuite viennent les images via une application borélienne de boréliens (ensembles analytiques) et leurs complémentaires (ensembles co-analytiques). On verra notamment une méthode permettant de montrer qu’un ensemble est co- analytique mais non borélien.

Le cours se terminera par une introduction à la théorie descriptive effective des ensembles et à ses applications. Un de ses outils très puissants est la topologie de Gandy-Harrington, et nous établirons ses propriétés permettant son utilisation dans la preuve de nombreux résultats de dichotomie. Nous détaillerons trois exemples, les dichotomies d’Hurewicz, Silver et Kechris-Solecki-Todorčević. Nous énoncerons d’autres exemples plus récents, en détaillant suivant le temps disponible.

Sommaire

  • Topologie générale
  • Espaces polonais
  • Les espaces de Cantor et de Baire
  • Catégorie de Baire
  • Ensembles boréliens et fonctions boréliennes
  • Ensembles analytiques et co-analytiques
  • Théorie descriptive effective des ensembles
  • Application aux dichotomies

Bibliographie

  • S. Gao, Invariant Descriptive Set Theory, Pure and Applied Mathematics, A Series of Mono- graphs and Textbooks, 293, Taylor and Francis Group, 2009
  • A. S. Kechris, Classical Descriptive Set Theory, Springer-Verlag, 1995
  • A. S. Kechris, S. Solecki and S. Todorčević, Borel chromatic numbers, Adv. Math. 141 (1999), 1-44 [M] Y. N. Moschovakis, Descriptive set theory, North-Holland, 1980