PrérequisThéorie de Galois. Des rudiments de théorie des modèles et de géométrie algébrique pourront être utiles. Des rappels seront fait en cours, si besoin.
Validationexamen
EnseignantSilvain Rideau
Horaires hebdomadaires 4 h CM
Années Master Logique et Fondements de l'Informatique

Syllabus

L’étude des propriétés asymptotiques des corps finis, c’est à dire les propriétés vraies dans tous les corps finis suffisamment grands, se fait naturellement par le biais des corps dits pseudo-finis : les modèles infinis de l’ensemble des énoncés vrais dans tous corps finis. Cette classe a été définie et étudiées par Ax et il en a donné une caractérisation algébrique : ce sont les corps parfaits, pseudo- algébriquement clos qui ont exactement une extension de chaque de degré.

Les structures pseudo-finies ont plus récemment joué un rôle déterminant dans l’approche, par la théorie des modèles, de certaines questions combinatoires, entre autre dans les travaux de Hrushovski en combinatoire additive. Ces derniers trouvent une partie de leurs racines dans les résultats de Chatzidakis, van den Dries et Macintyre qui ont donné une description fine des ensembles définissables dans les corps pseudo-finis en exhibant, entre autre, un équivalent pseudo-fini de la mesure de comptage.

Le but de ce cours sera d’introduire les résultats d’Ax et de Chatzidakis-van den Dries- Macintyre ainsi que les notions algébriques nécessaires à leur compréhension. Enfin, on abordera, dans la mesure du possible, des questions liées à la théorie géométrique des modèles comme l’étude des groupes définissables ou des imaginaires ainsi que des questions de classification.

Sommaire

  • Rappels d’algèbre et de théorie des modèles.
  • Etude des corps pseudo-algébriquement clos (bornés) : modèle complétude, description des types.
  • Théorème d’Ax, aperçu des théorèmes de Lang-Weil et Tchebotarev.
  • Théorème de Chatzidakis - van den Dries – Macintyre : existence et définissabilité de la dimension et des mesures pseudo-finies.
  • Classification : théorie simples, propriété de l’indépendance.
  • Imaginaires dans le corps pseudo-algébriquement clos bornés.
  • Groupes définissables : configuration de groupe, groupes algébriques.

Bibliographie

  • J. Ax.The elementary theory of finite fields. Ann. of Math. (2) 88 (1968), pp.239-271.
  • Z. Chatzidakis. Théorie des modèles des corps finis et pseudo-finis. Cours de M2. 1996.
  • Z. Chatzidakis. L. van den Dries, and A. Macintyre. Definable sets over finite fields. J. Reine Angew. Math. 427 (1992), pp.107-135.
  • M. D. Fried and M. Jarden. Field arithmetic. Third. Vol. 11. Ergeb. Math. Grenzgeb. (3). Revised by Jarden. Springer-Verlag, Berlin, 2008, pp. xxiv+792.
  • E. Hrushovski. Pseudo-finite fields and related structures. In : Model theory and applications. Vol. 11. Quad. Mat. Aracne, Rome, 2002, pp. 151-212.