Archive 2020
ValidationCC+examen
EnseignantFrédéric Hélein
Horaires hebdomadaires 4 h CM , 6 h TD
Années M1 mathématiques (MFA)

Sommaire

  • Rappels et compléments de calcul différentiel dans $\mathbb{R}^n$ : théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites, théorème du rang constant,...
  • Sous-variétés de $\mathbb{R}^n$ : diverses définitions (graphe, représentation paramétrique, redressement, équations) et leur équivalence; cartes locales. Exemples fondamentaux.
  • Variétés abstraites. Cartes locales, atlas. Fonctions sur ces variétés. Morphismes de variétés. Exemples: quotient par un groupe discret opérant sans point fixe; revêtement.
  • Sous-variétés.
  • Partition de l'unité. Plongement d'une variété abstraite comme sous-variété d'un espace $\mathbb{R}^n$.
  • Fibré tangent, fibré cotangent. Application tangente à un morphisme.
  • Champs de vecteurs. Courbes intégrales. Flot d’un champ de vecteurs. Crochet de Lie. Groupes à un paramètre de difféomorphismes.
  • Points critiques.
  • Introduction aux groupes de Lie.
  • Formes différentielles, cohomologie de de Rham.